Question

【題目】情景觀察：如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分別為D、E，CD與AE交于點F．

①寫出圖1中所有的全等三角形　 　；

②線段AF與線段CE的數量關系是　 　，并寫出證明過程．

問題探究：

如圖2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足為D，AD與BC交于點E．

求證：AE=2CD．

Answer 1

【答案】①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF=2CE，詳見解析.

【解析】試題分析：

情景觀察：①由AB＝AC，AE⊥BC，AE是公共邊，根據“HL”即可判斷△ABE≌△ACE；根據等腰三角形“三線合一”和∠A＝45°，可求得∠DAF＝22.5°，利用等邊對等角和三角形內角和定理求得∠B＝67.5°，在Rt△BDC中即可求得∠DCB＝22.5°，在Rt△ADC中由∠A＝45°可得AD＝CD，由“ASA”即可得出△ADF≌△CDB；

②由①中△ADF≌△CDB得出AF＝BC，再由“三線合一”得出BC＝2CE，等量代換即可得出結論；

問題探究：延長AB、CD交于點G，由ASA證明△ADC≌△ADG，得出對應邊相等CD＝GD，即CG＝2CD，證出∠BAE＝∠BCG，由ASA證明△ABE≌△CBG，得出AE＝CG＝2CD即可．

試題解析：

解：①圖1中所有的全等三角形為△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；

故答案為：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；

②線段AF與線段CE的數量關系是：AF＝2CE；

故答案為：AF＝2CE．

證明：∵△BCD≌△FAD，

∴AF＝BC，

∵AB＝AC，AE⊥BC，

∴BC＝2CE，

∴AF＝2CE；

問題探究：

證明：延長AB、CD交于點G，如圖2所示：

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠GAD，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC＝∠ADG＝90°，

在△ADC和△ADG中，

，

∴△ADC≌△ADG（ASA），

∴CD＝GD，即CG＝2CD，

∵∠BAC＝45°，AB＝BC，

∴∠ABC＝90°，

∴∠CBG＝90°，

∴∠G＋∠BCG＝90°，

∵∠G＋∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠BCG，

在△ABE和△CBG中，

，

∴△ABE≌△CBG（ASA），

∴AE＝CG＝2CD．