Question

【題目】如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分線BE和∠BAC的外角平分線AD相交于點P，分別交AC和BC的延長線于E，D．過P作PF⊥AD交AC的延長線于點H，交BC的延長線于點F，連接AF交DH于點G．則下列結論：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正確的是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和與角平分線的定義表示出∠CAP，再根據角平分線的定義∠ABP=∠ABC，然后利用三角形的內角和定理整理即可得解；

②先求出∠APB=∠FPB，再利用“角邊角”證明△ABP和△FBP全等，根據全等三角形對應邊相等得到AB=BF，AP=PF；

③根據直角的關系求出∠AHP=∠FDP，然后利用“角角邊”證明△AHP與△FDP全等，根據全等三角形對應邊相等可得DF=AH；

④根據PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根據等角對等邊可得DG=AG，再根據等腰直角三角形兩腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜邊大于直角邊，AF＞AP，從而得出本小題錯誤.

解：①∵∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線，

∴∠ABP=∠ABC，

∠CAP=（90°+∠ABC）=45°+∠ABC，

在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP，

=180°-（45°+∠ABC+90°-∠ABC）-∠ABC，

=180°-45°- ∠ABC-90°+∠ABC-∠ABC，

=45°，故本小題正確；

②∵PF⊥AD，∠APB=45°（已證），

∴∠APB=∠FPB=45°，

∵∵PB為∠ABC的角平分線，

∴∠ABP=∠FBP，

在△ABP和△FBP中，

，

∴△ABP≌△FBP（ASA），

∴AB=BF，AP=PF；故②正確；

③∵∠ACB=90°，PF⊥AD，

∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，

∴∠AHP=∠FDP，

∵PF⊥AD，

∴∠APH=∠FPD=90°，

在△AHP與△FDP中，

∴△AHP≌△FDP（AAS），

∴DF=AH，

∵BD=DF+BF，

∴BD=AH+AB，

∴BD-AH=AB，故③小題正確；

④∵PF⊥AD，∠ACB=90°，

∴AG⊥DH，

∵AP=PF，PF⊥AD，

∴∠PAF=45°，

∴∠ADG=∠DAG=45°，

∴DG=AG，

∵∠PAF=45°，AG⊥DH，

∴△ADG與△FGH都是等腰直角三角形，

∴DG=AG，GH=GF，

∴DG=GH+AF，

∵AF＞AP，

∴DG=AP+GH不成立，故本小題錯誤，

綜上所述①②③正確．

故選:C.