Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（，），點Q的坐標為（，），且，，若P，Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點P，Q的“相關矩形”．下圖為點P，Q 的“相關矩形”的示意圖．

（1）已知點A的坐標為（1，0）．

①若點B的坐標為（3，1）求點A，B的“相關矩形”的面積；

②點C在直線x=3上，若點A，C的“相關矩形”為正方形，求直線AC的表達式；

（2）⊙O的半徑為，點M的坐標為（m，3）．若在⊙O上存在一點N，使得點M，N的“相關矩形”為正方形，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①2；② 或 ；（2）1≤m≤5 或者．

【解析】

試題分析：（1）①易得S=2；

②得到C的坐標可以為（3，2）或者（3，-2），設AC的表達式為y=kx+b，將A、C分別代入AC的表達式即可得出結論；

（2）若⊙O上存在點N，使MN的相關矩形為正方形，則直線MN的斜率k=±1，即過M點作k=±1的直線，與⊙O相切，求出M的坐標，即可得出結論．

試題解析：（1）①S=2×1=2；

②C的坐標可以為（3，2）或者（3，-2），設AC的表達式為y=kx+b，將A、C分別代入AC的表達式得到：或，解得：或，則直線AC的表達式為 或 ；

（2）若⊙O上存在點N，使MN的相關矩形為正方形，則直線MN的斜率k=±1，即過M點作k=±1的直線，與⊙O有交點，即存在N，當k=－1時，極限位置是直線與⊙O相切，如圖與，直線與⊙O切于點N，ON=，∠ONM=90°，∴與y交于（0，-2）．（，3），∴，∴=-5，∴（-5，3）；同理可得（-1，3）；

當k=1時，極限位置是直線與（與⊙O相切），可得（1，3）， （5，3）．

因此m的取值范圍為1≤m≤5 或者．