Question

我們知道：由于圓是中心對稱圖形，所以過圓心的任何一條直線都可以將圓分割成面積相等的兩部分（如圖1）

    

（1）在圖2中給出的四個正方形中，各畫出一條直線（依次是：水平方向的直線、豎直方向的直線、與水平方向成45°角的直線和任意的直線），將每個正方形都分割成面積相等的兩部分；
（2）一條豎直方向的直線m以及任意的直線n，在由左向右平移的過程中，將正六邊形分成左右兩部分，其面積分別記為S₁和S₂。
①請你寫出圖3中S₁，S₂的數量關系；（用“<”，“>”,“=”表示）
②請你在圖4中分別畫出反映S₁與S₂三種大小關系的直線n，并分別寫出相應圖形的S₁與S₂的數量關系式（用“<”，“=”，“>”連接）；
（3）是否存在一條直線，將一個任意的平面圖形（如圖5所示）分割成面積相等的兩部分？請簡略說出理由。

Answer 1

解：（1）如答圖所示：
；
（2）
②如答圖所示：
；
（3）存在。對于任意一條直線L，在直線L從平面圖形的一側向另一側平移的過程中，當圖形被直線L分割后，直線L兩側圖形的面積分別為S₁，S₂，兩側圖形的面積由S₁<S₂（或S₁>S₂），逐漸變為S₁>S₂（或S₁
<S₂），在這個平移過程中，一定會存在S₁=S₂的時刻。因此，一定存在一條直線，將一個任意的平面圖形分割成面積相等的兩部分。