Question

【題目】已知：如圖，在等邊△ABC中取點(diǎn)P，使得PA，PB，PC的長(zhǎng)分別為3，4，5，將線段AP以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，連接BD，下列結(jié)論：

①△ABD可以由△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)P與點(diǎn)D的距離為3；③∠APB＝150°；

④S△APC+S△APB＝，其中正確的結(jié)論有（　　）

A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由線段AP以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有AD＝AP，∠DAP＝60°，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC＝60°，AB＝AC，易得∠DAP＝∠PAC，于是△ABD可以由△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；△ADP為等邊三角形，則有PD＝PA＝3；在△PBD中，PB＝4，PD＝3，由①得到BD＝PC＝5，利用勾股定理的逆定理可得△PBD為直角三角形，且∠BPD＝90°，則∠APB＝∠APD+∠BPD＝60°+90°＝150°；由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC，則有S△APC+S△APB＝S△ADB+S△APB＝S△ADP+S△BPD，根據(jù)等邊三角形的面積為邊長(zhǎng)平方的倍和直角三角形的面積公式即可得到 可判斷④不正確．

解：連PD，如圖，

∵線段AP以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD，

∴AD＝AP，∠DAP＝60°，

又∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC＝60°，AB＝AC，

∴∠DAB+∠BAP＝∠PAC+∠BAP，

∴∠DAP＝∠PAC，

∴△ABD可以由△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，所以①正確；

∵DA＝PA，∠DAP＝60°，

∴△ADP為等邊三角形，

∴PD＝PA＝3，所以②正確；

在△PBD中，PB＝4，PD＝3，由①得到BD＝PC＝5，

∵32+42＝52，即PD2+PB2＝BD2，

∴△PBD為直角三角形，且∠BPD＝90°，

由②得∠APD＝60°，

∴∠APB＝∠APD+∠BPD＝60°+90°＝150°，所以③正確；

∵△ADB≌△APC，

∴S△ADB＝S△APC，

∴S△APC+S△APB＝S△ADB+S△APB＝S△ADP+S△BPD所以④不正確．

故選：C．