Question

7．如圖，長方形ABCD中，AD=a，DC=b，（a，b為常數），∠CAB=30°，點P是對角線AC的中點，點Q是線段CD上的動點，則AQ+QP的最小值為$\sqrt{3}a$．

Answer 1

分析 根據圖形和題意，作點P關于直線CD的對稱點P′，然后根據兩點之間線段最短，可以解答本題．

解答 解：作點P關于直線CD的對稱點P′，如右圖所示，
∵長方形ABCD中，AD=a，DC=b，（a，b為常數），∠CAB=30°，點P是對角線AC的中點，
∴AE=a+0.5a=1.5a，EP′=0.5b，tan30°=$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴b=$\sqrt{3}a$，
∵兩點之間線段最短，
∴AQ+QP的最小值就是線段AP′的長度，
∵∠AEP′=90°，EP′=0.5b，AE=1．a，
∴AP′=$\sqrt{（0.5b）^{2}+（1.5a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{9{a}^{2}+{b}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{9{a}^{2}+3{a}^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{12{a}^{2}}}{2}=\frac{2\sqrt{3}a}{2}$=$\sqrt{3}a$，
故答案為：$\sqrt{3}a$．

點評 本題考查軸對稱-最短路徑問題、矩形的性質、勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用勾股定理和銳角三角函數解答．