Question

【題目】已知：如圖一次函數(shù)y= x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y= x+1的圖象交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求四邊形BDEC的面積S；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出所有的點(diǎn)P，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將B（0，1），D（1，0）的坐標(biāo)代入y= x2+bx+c，

得： ，

得解析式y(tǒng)= x2﹣ x+1

（2）

解：設(shè)C（x0，y0）（x0≠0，y0≠0），

則有 解得 ，

∴C（4，3）

由圖可知：S四邊形BDEC=S△ACE﹣S△ABD，又由對(duì)稱軸為x= 可知E（2，0），

∴S= AEy0﹣ AD×OB= ×4×3﹣ ×3×1=

（3）

解：設(shè)符合條件的點(diǎn)P存在，令P（a，0）：

當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖：過C作CF⊥x軸于F；

∵∠BPO+∠OBP=90°，∠BPO+∠CPF=90°，

∴∠OBP=∠FPC，

∴Rt△BOP∽R(shí)t△PFC，

∴ ，

即 ，

整理得a2﹣4a+3=0，

解得a=1或a=3；

∴所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0），

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P共有2個(gè)．

【解析】（1）根據(jù)直線BC的解析式，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，由于B、D都在拋物線的圖象上，那么它們都滿足該拋物線的解析式，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．（2）根據(jù)拋物線的解析式，可求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線BC的解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；那么四邊形BDEC的面積即可由△AEC、△ABD的面積差求得．（3）假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)，連接BP、CP，過C作CF⊥x軸于F，若∠BPC=90°，則△BPO∽△CPF，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別表示出OP、PF的長，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．