Question

如圖，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出（A在y軸上），運動員乙在距O點6米的B處發現球在自己頭的正上方達到最高點M，距地面約4米高，球落地后又一次彈起．據實驗測算，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．
（1）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達式；
（2）足球第一次落地點C距守門員多少米？（取4

3

=7）
（3）運動員乙要搶到第二個落點D，他應再向前跑多少米？（取2

6

=5）

Answer 1

分析：（1）依題意代入x的值可得拋物線的表達式．
（2）令y=0可求出x的兩個值，再按實際情況篩選．
（3）本題有多種解法．如圖可得第二次足球彈出后的距離為CD，相當于將拋物線AEMFC向下平移了2個單位可得
2=-

1

12

（x-6）²解得x的值即可知道CD、BD．

解答：解：（1）如圖，設足球開始飛出到第一次落地時，
拋物線的表達式為y=a（x-h）²+k，
∵h=6，k=4，
∴y=a（x-6）²+4，
由已知：當x=0時y=1，
即1=36a+4，
∴a=-

1

12

，
∴表達式為y=-

1

12

（x-6）²+4，
（或y=-

1

12

x²+x+1）．

（2）令y=0，-

1

12

（x-6）²+4=0，
∴（x-6）²=48，
解得：x₁=4

3

+6≈13，x₂=-4

3

+6＜0（舍去），
∴足球第一次落地距守門員約13米．

（3）解法一：如圖，第二次足球彈出后的距離為CD，
根據題意：CD=EF（即相當于將拋物線AEMFC向下平移了2個單位），
∴2=-

1

12

（x-6）²+4，解得：x₁=6-2

6

，x₂=6+2

6

，
∴CD=|x₁-x₂|=4

6

≈10，
∴BD=13-6+10=17（米）．
解法二：令-

1

12

（x-6）²+4=0
解得：x₁=6-4

3

（舍），x₂=6+4

3

≈13．
∴點C坐標為（13，0）．
設拋物線CND為y=-

1

12

（x-k）²+2，
將C點坐標代入得：
-

1

12

（13-k）²+2=0
解得：k₁=13-2

6

（舍去），k₂=6+4

3

+2

6

≈6+7+5=18，
令y=0，0=-

1

12

（x-18）²+2，x₁=18-2

6

（舍去），x₂=18+2

6

≈23，
∴BD=23-6=17（米）．
解法三：由解法二知，k=18，
所以CD=2（18-13）=10，
所以BD=（13-6）+10=17．
答：他應再向前跑17米．

點評：這是一道比較新穎的二次函數應用問題，解題的關鍵是要有建模思想，將題目中的語句轉化為數學語言，這樣才能較好的領會題意并運用自己的知識解決問題．