Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，1）、D（-，0），作直線AD并以線段AD為一邊向上作正方形ABCD．

（1）填空：點B的坐標為________，點C的坐標為_________．

（2）若正方形以每秒2個單位長度的速度沿射線DA向上平移，直至正方形的頂點C落在y軸上時停止運動．在運動過程中，設正方形落在y軸右側部分的面積為S，求S關于平移時間t（秒）的函數關系式，并寫出相應的自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）B的坐標是（-1，1+），C的坐標是（-1-，）；（2）S=2t2，（0≤t≤）；S=2-4x（＜t≤2）；S=4-（3-2x）2，（2＜x≤2+）．

【解析】

試題分析：（1）BM⊥y軸于點M，作CN⊥x軸于點N，證明△ABM≌△DAO，△CDN≌△DAO即可求得；

（2）首先證明∠ADO=30°，則∠DAO=60°，然后分只有點A在y軸右側時，當B和D分別位于y軸的左右兩邊時，點C和點D分別位于y軸的兩側時三種情況進行討論，利用三角函數即可求解．

試題解析：（1）作BM⊥y軸于點M，作CN⊥x軸于點N．

∵正方形ABCD中，∠BAD=90°，

∴∠BAM+∠DAO=90°，

又∵直角△ABM中，∠BAM+∠MBA=90°，

∴∠MBA=∠DAO，

在△ABM和△DAO中，

，

∴△ABM≌△DAO，

∴BM=AO=1，AM=OD=，

則B的坐標是（-1，1+），

同理，△CDN≌△DAO，

DN=AO=1，CN=OD=，

則C的坐標是（-1-，）；

（2）∵OA=1，OD=，

∴tan∠ADO=，

∴∠ADO=30°，∠DAO=60°，

當只有點A在y軸右側時，如圖2，作AG⊥y軸于點G．

在直角△AEF中，AE=2t，∠AEF=30°，sin∠AEG=，即AG=AE sin∠AEG=2x =x，當AG=1時，AE=，

則AF=AE tan∠FEA=AE=2t，

則S=AE AF=×2t×2t=2t2，（0≤t≤）；

當B和D分別位于y軸的左右兩邊時，如圖3，作AG⊥y軸于點G，作BH∥y軸，交AD于點H．

在直角△ABH中，∠ABH=30°，則AH=，

則S=S△ABH+S平行四邊形BHEF=AB AH+BH （AG-1）=×2×-（x-1），

即S=2-4x（＜t≤2）；

當點C和點D分別位于y軸的兩側時，如圖4．

ED=2x-2，

在直角△EDG中，EG==4x-4，則FG=2-（4x-4）=6-4x，

在直角△CFG中，CF=FG sin∠AGF=（6-4x）=3-2x，

CG=CF=（3-2x），

則S△CFG=CF CG=（3-2x）2，

則S=4-S△CFG=4-（3-2x）2，（2＜x≤2+）．