Question

含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.將其繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（且≠ 90°），得到Rt△，邊與AB所在直線交于點(diǎn)D，過點(diǎn) D作DE∥交邊于點(diǎn)E，連接BE.

（1）如圖1，當(dāng)邊經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，=      °；
（2）在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中，若∠CBD的度數(shù)是∠CBE度數(shù)的m倍，猜想m的值并證明你的結(jié)論；
（3） 設(shè) BC=1，AD=x，△BDE的面積為S，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑作⊙E，當(dāng)S=
時(shí)，求AD的長，并判斷此時(shí)直線與⊙E的位置關(guān)系.

Answer 1

（1）60
（2）證明略
（3）直線與⊙E相交解析:
（1）當(dāng)邊經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，="  60 " °；………………………… 1分
（2）猜想：①如圖8，點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，m=2；
②如圖9，點(diǎn)D在AB的延長線上時(shí)，m=4.
（閱卷說明：為與后邊證明不重復(fù)給分，猜想結(jié)論不設(shè)給分點(diǎn)）
證明：① 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上（如圖8）.

（閱卷說明：①、②兩種情況沒寫的取值范圍不扣分）
∵ DE∥，
∴ .
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA =，CB=，∠ACD=∠BCE.
∴ .
∴ △CAD∽△CBE. ……………2分
∴ ∠A =∠CBE=30°.
∵ 點(diǎn)D在AB邊上，∠CBD=60°，
∴ ，即 m="2." ………………………………………3分
② 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在AB的延長線上（如圖9）.

與①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.
∵ 點(diǎn)D在AB的延長線上，，
∴ ，即 m="4.  " ……………………………………4分
（閱卷說明：第（2）問用四點(diǎn)共圓方法證明的扣1分.）
（3）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴ AB =" 2" ，，.
由 △CAD∽△CBE 得 .
∵ AD=x，
∴ ，.
①當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，AD=x，，∠DBE=90°.
此時(shí)，.
當(dāng)S =時(shí)，.
整理，得 .
解得 ，即AD=1.…………………5分
此時(shí)D為AB中點(diǎn)，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE.（如圖10）

∴ EC = EB.
∵ ，點(diǎn)E在邊上，
∴ 圓心E到的距離EC等于⊙E的半徑EB.
∴ 直線與⊙E相切. …………………………………………………6分
②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長線上時(shí)，AD=x，，∠DBE=90°.（如圖9）.
.
當(dāng)S =時(shí)，.
整理，得 .
解得 ，（負(fù)值，舍去）.
即.……………………………………………………………… 7分
此時(shí)∠BCE=，而，∠CBE=30°，
∴ ∠CBE＜∠BCE .
∴ EC＜EB，即圓心E到的距離EC小于⊙E的半徑EB.
∴ 直線與⊙E相交. ……………………………………………………8分