Question

【題目】閱讀下列材料，完成相應的任務：

全等四邊形根據全等圖形的定義可知：四條邊分別相等，四個角也分別相等的兩個四邊形全等.在“探索三角形全等的條件” 時，我們把兩個三角形中“一條邊相等” 或“一個角相等”稱為一個條件.智慧小組的同學類比“探索三角形全等條件”的方法，探索“四邊形全等的條件”，進行了如下思考：如圖 1，四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'中，連接對角線AC，A'C'，這樣兩個四邊形全等的問題就轉化為“△ABC≌△A'B'C'”與“△ACD ≌ △A 'C 'D '”的問題.若先給定“△ABC≌△A'B'C'”的條件，只要再增加2個條件使“△ACD≌△A'C'D'”即可推出兩個四邊形中“四條邊分別相等，四個角也分別相等”，從而說明兩個四邊形全等.

按照智慧小組的思路，小明對圖1中的四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'先給出如下條件：AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'，小亮在此基礎上又給出“AD＝A'D'，CD＝C'D'”兩個條件，他們認為滿足這五個條件能得到“四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'”.

(1)請根據小明和小亮給出的條件，說明“四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'”的理由；

(2)請從下面A，B兩題中任選一題作答，我選擇______題.

A.在材料中“小明所給條件”的基礎上，小穎又給出兩個條件“AD＝A'D'，∠BCD＝∠B'C'D'”，滿足這五個條件_______(填“能”或“不能”)得到“四邊形 ABCD≌四邊形A'B'C'D'”.

B.在材料中“小明所給條件”的基礎上，再添加兩個關于原四邊形的條件(要求：不同于小亮的條件)，使“四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'”，你添加的條件是：①___________；②__________.：

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)A題：不能；B題：①∠D=∠D′；②∠DAC=∠D′A′C′.

【解析】

根據全等三角形判定定理求解即可.

(1)證明：在△ABC和△A'B'C'中，

∵

∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)

∴AC＝A'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，∠BCA＝∠B'C'A'，

在△ACD 和△A'C'D'中，

∵

∴△ACD≌△A'C'D'(SSS)

∴∠DAC＝∠D'A'C'，∠DCA＝∠D'C'A'，∠D＝∠D'

∴∠DAC+∠BAC＝∠D'A'C'+∠B'A'C'，∠BCA+∠DCA＝∠D'C'A'+∠B'C'A'

即：∠DAB＝∠D'A'B'，∠DCB＝∠D'C'B'

∵AB＝A'B'，BC＝B'C'，CD＝C'D'，DA＝D'A'，

∠DAB＝∠D'A'B'，∠B＝∠B'，∠DCB＝∠D'C'B'，∠D＝∠D'

∴四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'

(2)A題：小明給出的條件可得：在△ABC和△A'B'C'中，

∵

∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)

∴AC＝A'C'

根據AD＝A'D'，∠BCD＝∠B'C'D'，不能判定△ACD≌△A'C'D'

∴不能得到四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'

故答案為：不能

B題.小明給出的條件可得：在△ABC和△A'B'C'中，

∵

∴△ABC≌△A'B'C'(SAS)

∴AC＝A'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，∠BCA＝∠B'C'A'，

在△ACD和△A'C'D'中，

∵

∴△ACD≌△A'C'D'(AAS)

∴AD＝A'D'，CD＝C'D'，∠DCA＝∠D'C'A'.

∴∠DAC+∠BAC＝∠D'A'C'+∠B'A'C'，∠BCA+∠DCA＝∠D'C'A' +∠B'C'A'

即：∠DAB＝∠D'A'B'，∠DCB＝∠D'C'B'

∵AB＝A'B'，BC＝B'C'，CD＝C'D'，DA＝D'A'，

∠DAB＝∠D'A'B'，∠B＝∠B'，∠DCB＝∠D'C'B'，∠D＝∠D'

∴四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'

故答案為：∠D=∠D′，∠DAC=∠D′A′C′.