Question

10．如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC，過點A作AD⊥AB交⊙O于點D，交BC于點E，點F在DA的延長線上，且∠ABF=∠C．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若AD=4，cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）根據AD⊥AB，可得DB是⊙O的直徑，進而得到根據圓周角定理，可得∠ABF=∠C=∠D，最后根據∠D+∠ABD=90°，可得OB⊥BF，即BF是⊙O的切線；
（2）根據AC=AB，可得∠D=∠2=∠ABF，OA⊥BC，BG=CG，進而在△ABD中，求得BD=5，根據勾股定理可得AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=3，最后在△ABG中，根據∠AGB=90°，AD=4，求得BG=AB×cos∠2=$\frac{12}{5}$，即可得到BC的長．

解答 解：（1）證明：如圖，連接BD
∵AD⊥AB，
∴DB是⊙O的直徑，
∴∠D+∠ABD=90°，
又∵∠D=∠C，∠ABF=∠C，
∴∠ABD+∠ABF=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切線；

（2）如圖，連接OA，交BC于點G，
∵AC=AB，
∴弧AC=弧AB
∴∠D=∠2=∠ABF，OA⊥BC，BG=CG，
∴cos∠D=cos∠2=cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，
在△ABD中，∠DAB=90°，
∴BD=$\frac{AD}{cos∠D}$=5，
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=3，
在△ABG中，∠AGB=90°，AD=4，
∴BG=AB×cos∠2=$\frac{12}{5}$，
∴BC=2BG=$\frac{24}{5}$．

點評 本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，解直角三角形以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，解題時注意：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．