Question

（2003•荊門）已知：如圖1，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點E，BM交CN于點F．
（1）求證：AN=BM；
（2）求證：△CEF為等邊三角形；
（3）將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉90°，其他條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，并判斷第（1）、（2）兩小題的結論是否仍然成立（不要求證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過全等三角形來得出簡單的線段相等，證明AN=BM，只要求出三角形ACN和MCB全等即可，這兩個三角形中，已知的條件有AC=MC，NC=CB，只要證明這兩組對應邊的夾角相等即可，我們發現∠ACN和∠MCB都是等邊三角形的外角，因此它們都是120°，這樣就能得出兩三角形全等了．也就證出了AN=BM．
（2）我們不難發現∠ECF=180-60-60=60°，因此只要我們再證得兩條邊相等即可得出三角形ECF是等邊三角形，可從EC，CF入手，由（1）的全等三角形我們知道，∠MAC=∠BMC，
又知道了AC=MC，∠MCF=∠ACE=60°，那么此時三角形AEC≌三角形MCF，可得出CF=CE，于是我們再根據∠ECF=60°，便可得出三角形ECF是等邊三角形的結論．
（3）判定結論1是否正確，也是通過證明三角形ACN和BCM來求得．這兩個三角形中MC=AC，NC=BC，∠MCB和∠ACN都是60°+∠ACB，因此兩三角形就全等，AN=BM，結論1正確．
根據圖1，當把MC逆時針旋轉90°后，AC也旋轉了90°，因此∠ACB=90°，很顯然∠FCE＞90°，因此三角形FCE絕對不可能是等邊三角形．
解答：（1）證明：∵△ACM，△CBN是等邊三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，
即：∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，
∴△ACN≌△MCB（SAS）．
∴AN=BM．

（2）證明：∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAN=∠CMB．
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE．
在△CAE和△CMF中
∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，
∴△CAE≌△CMF（ASA）．
∴CE=CF．
∴△CEF為等腰三角形．
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF為等邊三角形．

（3）解：如右圖，
∵△CMA和△NCB都為等邊三角形，
∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°，
∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN，
∴△CMB≌△CAN，
∴AN=MB，
結論1成立，結論2不成立．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定等知識點，利用全等三角形來得出角和邊相等是解題的關鍵．