Question

（2003•荊門）如圖，已知一次函數y=-x+8和反比例函數圖象在第一象限內有兩個不同的公共點A、B．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）若△AOB的面積S=24，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）解由它們組成的方程組，得關于x的二次方程，運用根與系數關系求實數k的取值范圍；
（2）S_△AOB=S_△COB-S_△COA，據此得關系式求解．
解答：解：（1）∵
∴（x-4）²=16-k
整理得x²-8x+k=0
∵圖象在第一象限內有兩個不同的公共點A、B．
∴△=64-4k＞0
解得：k＜16，
∴0＜k＜16；

（2）∵令一次函數y=-x+8中x=0，解得y=8，故OC=8，
∴S_△COB=OCx₂，S_△COA=OCx₁，

∴24=4（x₂-x₁），∴（x₂-x₁）²=36，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36，
∵一次函數y=-x+8和反比例函數圖象在第一象限內有兩個不同的公共點，
∴-x+8=，
∴x²-8x+k=0
設方程x²-8x+k=0的兩根分別為x₁，x₂，
∴根據根與系數的關系得：x₁+x₂=8，x₁•x₂=k．
∴64-4k=36
∴k=7．
點評：此題把函數與一元二次方程根與系數關系聯系起來，重點在運用一元二次方程根與系數關系解題．