Question

已知一個三角形紙片ABC，面積為25，BC的長為10，∠B、∠C都為銳角，M為AB邊上的一動點（M與A、B不重合），過點M作MN∥BC交AC于點N，設MN=x．
（1）用x表示△AMN的面積；
（2）△AMN沿MN折疊，使△AMN緊貼四邊形BCNM（邊AM、AN落在四邊形BCNM所在的平面內），設點A落在平面BCNM內的點A′，△A′MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y．
①用含x的代數式表示y，并寫出x的取值范圍．
②當x為何值時，重疊部分的面積y最大，最大為多少？

Answer 1

分析：（1）本題需先根據已知條件求出△AMN∽△ABC，再根據面積比等于相似比的平方的性質即可求出△AMN的面積．
（2）本題需先根據已知條件分兩種情況進行討論，當點A′落在四邊形BCMN內或BC邊上時和當點A′在四邊形BCMN外時進行討論，第一種情況很容易求出，第二種情況進行畫圖，連接AA′與MN交于點G與BC交于點F，再根據面積比等于相似比的平方的性質求出即可．再根據求出的式子，即可求出重疊部分的面積y的最大值來．

解答：解：（1）∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴

S△AMN

S△ABC

=

MN2

BC2

，
∴

S△AMN

25

=

x2

102

，
∴S_△AMN=

1

4

x2；

（2）①
當點A′落在四邊形BCMN內或BC邊上時，0＜x≤5，
△A′MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為就是△A′MN的面積，
則此時y=S_△A′MN⁼S_△AMN=

1

4

x2（0＜x≤5）
當點A′落在四邊形BCMN外時，5＜x＜10，
△A′MN與四邊形BCNM重疊部分的面積就是梯形MNED的面積，
連接AA′，與MN交于點G，與BC交于點F，
∵MN∥BC，
∴

AG

AF

=

MN

BC

，
∴

AG

5

=

x

10

，
∴AG=

1

2

x，
∴AA′=2AG=x，
∴A′F=x-5，
∴

S△A′DE

S△A′MN

=（

A′F

A′G

）²，
∴

SA′DE

1 4 x2

=

(x-5)2

( 1 2 x)2

，
∴S_△A′DE=x²-10x+25，
∴此時y=

1

4

x2-（x²-10x+25），
=-

3

4

x²+10x-25（5＜x＜10），
②當x=

20

3

時，y最大，最大值為y_最大=

25

3

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質，在解題時要注意性質和判定的應用．