Question

如圖，已知一個三角形紙片ABC，BC邊的長為8，BC邊上的高為6，∠B和∠C都為銳角，M為AB一動點（點M與點A、B不重合），過點M作MN∥BC，交AC于點N，在△AMN中，設MN的長為x，MN上的高為h．
（1）請你用含x的代數式表示h；
（2）將△AMN沿MN折疊，使△AMN落在四邊形BCNM所在平面，設點A落在平面的點為A₁，△A₁MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y，當x為何值時，y最大，最大值為多少．

Answer 1

分析：（1）由于MN∥BC，故△AMN∽△ABC，由相似關系求解．
（2）由于翻折后點A可能在△ABC的內部，也可能在BC邊上，也可能在△ABC的外部，故需分類討論．由于A′是動點，故重合的面積隨A′位置的變化而變化．

解答：解：（1）∵MN∥BC
∴△AMN∽△ABC
∴

h

6

=

x

8

∴h=

3x

4

．

（2）∵△AMN≌△A₁MN
∴△A₁MN的邊MN上的高為h
①當點A₁落在四邊形BCNM內或BC邊上時
y=S_△A1MN=

1

2

MN•h=

1

2

x•

3

4

x=

3

8

x²（0＜x≤4）
②當A₁落在四邊形BCNM外時，如圖（4＜x＜8）
設△A₁EF的邊EF上的高為h₁
則h₁=2h-6=

3

2

x-6
∵EF∥MN
∴△A₁EF∽△A₁MN
∵△A₁MN∽△ABC
∴△A₁EF∽△ABC
∴

S△A1EF

S△ABC

=(

h1

6

)2
∵S_△ABC=

1

2

×6×8=24
∴S_△A1EF=（

3 2 x-6

6

）²×24=

3

2

x²-12x+24
∵y=S_△A1MN-S_△A1EF=

3

8

x²-（

3

2

x²-12x+24）=-

9

8

x²+12x-24
所以y=-

9

8

x²+12x-24（4＜x＜8）
綜上所述
當0＜x≤4時，y=

3

8

x²，取x=4，y_max=6
當4＜x＜8時，y=-

9

8

x²+12x-24，取x=

16

3

，y_max=8
∴當x=

16

3

時，y值最大y_max=8．

點評：本題著重考查了二次函數的綜合應用、圖形翻折變換、三角形相似等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．