Question

【題目】如圖，在⊙O的內接三角形ABC中，，，過C作AB的垂線l交⊙O于另一點D，垂足為E.設P是上異于A，C的一個動點，射線AP交l于點F，連接PC與PD，PD交AB于點G.

（1）求證：；

（2）若, ,求PD的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）．

【解析】

（1）證明相似，思路很常規，就是兩個角相等或邊長成比例．因為題中由圓周角易知一對相等的角，那么另一對角相等就是我們需要努力的方向，因為涉及圓，傾向于找接近圓的角∠DPF，利用補角在圓內作等量代換，等弧對等角等知識易得∠DPF=∠APC，則結論易證．
（2）求PD的長，且此線段在上問已證相似的△PDF中，很明顯用相似得成比例，再將其他邊代入是應有的思路．利用已知條件易得其他邊長，則PD可求．

解：（1）∵四邊形APCB內接于圓O，
∴∠FPC=∠B．
又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE，∠ACE=∠APD，
∴∠APD=∠FPC，∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC，即∠APC=∠FPD，
又∵∠PAC=∠PDC，
∴△PAC∽△PDF；
（2）如圖1，連接PO，

則由 ,，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、△AEF都為等腰直角三角形．在Rt△ABC中，
∵AC=2BC，
∴AB2=BC2+AC2=5BC2，
∵AB=5，
∴BC= ，
∴AC=2，
∴CE=ACsin∠BAC=AC=2=2，
AE=ACcos∠BAC=AC=2=4，
∵△AEF為等腰直角三角形，
∴EF=AE=4，
∴FD=FC+CD=（EF-CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．
∵△APO為等腰直角三角形，AO=AB=，
∴AP=．
∵△PDF∽△PAC，
∴=，
∴=，
∴PD=．