Question

【題目】如圖，將線段AB繞點A逆時針旋轉60°得AC，連接BC，作△ABC的外接圓⊙O，點P為劣弧上的一個動點，弦AB、CP相交于點D．

（1）求∠APB的大小；

（2）當點P運動到何處時，PD⊥AB？并求此時CD：CP的值；

（3）在點P運動過程中，比較PC與AP+PB的大小關系，并對結論給予證明．

Answer 1

【答案】(1)、120°；(2)、3:4；(3)、PC=AP+PB；證明過程見解析

【解析】

試題分析：(1)、先根據題意判斷出△ABC是等邊三角形，再根據圓內接四邊形對角互補的性質可知∠APB+∠ACB=180°，進而可得出結論；(2)、連接PC，OA，OB，設⊙O的半徑為r，則CP=2r，根據⊙O為等邊△ABC的外接圓可求出∠OAB=30°，再根據直角三角形的性質可用r表示出OD，CD的值，進而得出結論；

(3)、在AP的延長線上取點Q，使PQ=PB，連接BQ，可判斷出△BPQ是等邊三角形，再根據全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CBP，由全等三角形的性質即可得出結論．

試題解析：(1)、∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC是等邊三角形，∵∠APB+∠ACB=180°，∴∠APB=120°

(2)、當點P運動到的中點時，PD⊥AB， 如圖1，連接PC，OA，OB，設⊙O的半徑為r，則CP=2r，

又∵⊙O為等邊△ABC的外接圓， ∴∠OAB=30°， 在Rt△OAD中， ∵OD=OA=，

∴CD=+r=， ∴CD：CP=：2r=3：4；

(3)、PC=AP+PB

方法一： 如圖2，在AP的延長線上取點Q，使PQ=PB，連接BQ， ∵∠APB=120°，

∴∠BPQ=60°， ∴△BPQ是等邊三角形， ∴PB=BQ， ∵∠CBP=∠CBA+∠ABP=60°+∠ABP，

∠ABQ=∠QBP+∠ABP=60°+∠ABP， ∴∠ABQ=∠CBP， 在△ABQ和△CBP中，PB=QB，∠CBP=∠ABQ，CB=AB， ∴△ABQ≌△CBP， ∴CP=AQ=AP+PQ=AP+PB，即PC=AP+PB；

方法二：如圖3，B為圓心，BP為半徑畫圓交CP于點M，連接BM， ∵∠CPB=60°，

∴△PBM是等邊三角形， ∵∠CMB=120°， ∴∠CMB=∠APB， ∴△APB≌△CMB， ∴PC=AP+PB；

方法三：（略證）如圖4，以A為圓心，A為半徑畫圓交CP于N，連接AN，

先證△APN是等邊三角形，再證△ANC≌△APB， 從而PC=AP+PB．