Question

【題目】已知命題：“P 是等邊△ABC 內的一點，若 P 到三邊的距離相等，則 PA=PB=PC．”
（1）寫出它的逆命題．判斷其逆命題成立嗎？若成立，請給出證明．
（2）進一步證明：點 P 到等邊△ABC 各邊的距離之和為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：逆命題：P 是等邊三角形 ABC內的一點，若PA=PB=PC，則P到三邊的距離相等． 該逆命題成立．
已知：如圖：P是等邊△ABC內的一點，若PA=PB=PC，PD⊥AB于D，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，
求證：PD=PE=PF.
證明：∵PA=PB，
∴P 在 AB 的垂直平分線上，
∵AC=BC，
∴C 在 AB 的垂直平分線上，
∴CP 是 AB 的垂直平分線，
∴CP 平分∠ACB，
同理，BP 平分∠ABC，AP 平分∠BAC，
∴P 是△ABC 三個角的角平分線的交點，
又∵PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，
∴PD=PE=PF．

（2）證明：設AB邊上的高為h，
∵AB=BC=AC 且 S△ABC=S△ABP +S△PBC +S△APC，
∴AB.h=AB.PD+BC.PE+AC.PF，
∴h=PD+PE+PF，
∴點P到等邊△ABC各邊的距離之和為定值．定值為該三角形任意邊上的高長.

【解析】（1）由垂直平分線的判定得出點P、點C均在 AB 的垂直平分線上，即CP 是 AB 的垂直平分線；再根據等腰三角形的性質得出CP 平分∠ACB；
同理，BP 平分∠ABC，AP 平分∠BAC，根據角平分線的性質得出PD=PE=PF．
（2）設AB邊上的高為h，由 S△ABC=S△ABP +S△PBC +S△APC，從而得出h=PD+PE+PF，即為定值.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用線段垂直平分線的判定和三角形的面積的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；三角形的面積=1/2×底×高．