Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A在B的左側(cè)，A坐標(biāo)為（-1，0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3）△ABC的面積為6．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸與直線BC相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)以M，N，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，請(qǐng)你求出BN的長度；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D在線段BC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
又∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=6，
∴AB=4；
∵A為（-1，0），
∴B為（3，0），
設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a（x+1）（x-3）
將C（0，3）代入求得a=-1，
∴y=-x²+2x+3．

（2）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=1，
由B（3，0），C（0，3），得直線BC解析式為：y=-x+3；
∵對(duì)稱軸x=1與直線BC：y=-x+3相交于點(diǎn)M，
∴M為（1，2）；
可直接設(shè)BN的長為未知數(shù)．
設(shè)N（t，0），當(dāng)△MNB∽△ACB時(shí)，
∴

BN

BC

=

MB

AB

即

3-t

3 2

=

2 2

4

即t=0，
∵△MNB∽△CAB時(shí)，∴

BN

AB

=

MB

CB

?

3-t

4

=

2 2

3 2

得t=

1

3

，
所以BN的長為3或

8

3

．

（3）存在．由y=-x²+2x+3得，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=1，頂點(diǎn)D為（1，4）；
①當(dāng)PD=PC時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）根據(jù)勾股定理，
得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²即y=4-x，
又P點(diǎn)（x，y）在拋物線上，4-x=-x²+2x+3，
即x²-3x+1=0，
解得x=

3± 5

2

；
∴y=4-x=

5- 5

2

或

5+ 5

2

即點(diǎn)P坐標(biāo)為（

3+ 5

2

，

5- 5

2

）或（

3- 5

2

，

5+ 5

2

）；
②當(dāng)CD=PD時(shí)，即P，C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
此時(shí)P的縱坐標(biāo)為3，即3=-x²+2x+3，
解得x₁=2，x₂=0（舍去），
∴P為（2，3）；
③當(dāng)PC=CD時(shí)，P只能在C點(diǎn)左邊的拋物線上，所以不考慮；
∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（

3- 5

2

，

5+ 5

2

），（

3+ 5

2

，

5- 5

2

）或（2，3）．