Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=5，AC=6，BD=8．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）過點A作AH⊥BC于點H，求AH的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=5，AC=6，BD=8，

∴AO= AC=3，BO= BD=4，

∵AB=5，且32+42=52，

∴AO2+BO2=AB2，

∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，

∴AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形

（2）解：如圖所示：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC=AB=5，

∵S△ABC= ACBO= BCAH，

∴ ×6×4= ×5×AH，

解得：AH= ．

【解析】（1）利用平行四邊形的性質結合勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，進而得出四邊形ABCD是菱形；（2）利用菱形的面積求法得出AH的長．