Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+c與x軸正半軸交于點(diǎn)F(16，0)、與y軸正半軸交于點(diǎn)E(0，16)，邊長(zhǎng)為16的正方形ABCD的頂點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，頂點(diǎn)C與點(diǎn)F重合；

  

(1) 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2) 如圖2，若正方形ABCD在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直，拋物線始終與邊AB交于點(diǎn)P且同時(shí)與邊CD交于點(diǎn)Q(運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P不與A、B兩點(diǎn)重合，點(diǎn)Q不與C、D兩點(diǎn)重合)。設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m，n) (m>0)。

j 當(dāng)PO=PF時(shí)，分別求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

k 在j的基礎(chǔ)上，當(dāng)正方形ABCD左右平移時(shí)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍；

l 當(dāng)n=7時(shí)，是否存在m的值使點(diǎn)P為AB邊中點(diǎn)。若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）y= -x2+16

（2）jP(8，12)    Q(8，-4)

k 8-16<m<8

l 不存在

【解析】

(1)  由拋物線y=ax2+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(0，16)、F(16，0)得：，

解得a= -，c=16，∴y= -x2+16；

(2) j 過(guò)點(diǎn)P做PG^x軸于點(diǎn)G，∵PO=PF，∴OG=FG，∵F(16，0)，∴OF=16，

           ∴OG=OF=´16=8，即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8，∵P點(diǎn)在拋物線上，

           ∴y= -´82+16=12，即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12，∴P(8，12)，

           ∵P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12，正方形ABCD邊長(zhǎng)是16，∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，

           ∵Q點(diǎn)在拋物線上，∴-4= -x2+16，∴x1=8，x2= -8，

           ∵m>0，∴x2= -8(舍去)，∴x=8，∴Q(8，-4)；

           k 8-16<m<8；

           l 不存在；

    理由：當(dāng)n=7時(shí)，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為7，∵P點(diǎn)在拋物線上，∴7= - x2+16，

      ∴x1=12，x2= -12，∵m>0，∴x2= -12(舍去)，∴x=12，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(12，7)，

          ∵P為AB中點(diǎn)，∴AP=AB=8，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，7)，∴m=4，

          又∵正方形ABCD邊長(zhǎng)是16，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(20，7)，

         點(diǎn)C的坐標(biāo)是(20，-9)，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-9，∵Q點(diǎn)在拋物線上，

         ∴ -9= -x2+16，∴x1=20，x2= -20，∵m>0，∴x2= -20(舍去)，x=20，

         ∴Q點(diǎn)坐標(biāo)(20，-9)，∴點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，這與已知點(diǎn)Q不與點(diǎn)C重合矛盾，

         ∴當(dāng)n=7時(shí)，不存在這樣的m值使P為AB邊的中點(diǎn)。