Question

已知△ABC，AC=BC，CD⊥AB于點D，點F在BD上，連接CF，AM⊥CF于點M，AM交CD于點E．
（1）如圖1，當∠ACB=90°時，求證：DE=DF；
（2）如圖2，當∠ACB=60°時，DE與DF的數量關系是______
（3）在2的條件若tan∠EAF=，EM=，連接EF，將∠DEF繞點E逆時針旋轉，旋轉后角的兩邊交線段CF于N、G兩點，交線段BC于P、T兩點（如圖3），若CN=3FN，求線段GT的長．

Answer 1

解：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=45°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=45°，∠DFC+∠DCF=90°，
∴AD=CD，
∵AM⊥CF，
∴∠DFC+∠FAM=90°，
∴∠DCF=∠FAM，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF；

（2）∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=30°，
∴=Ctan30°=，
∵∠ADE=∠FDC，∠DAE=∠DCF，
∴△ADE∽△CDF，
∴==，
∴DF=DE；

（3）∵tan∠EAF=tan∠ECM=，EM=，
∴EC=3，
設DE=x，則AD=4x，CD=4x，CE=3x，
∴x=1，
∴AD=4，DE=，AE=，AB=8，
∵==，
∴EP∥AB，
∵DF=DE，
∴∠PET=60°，
∴△EPT為等邊三角形，
∴EG∥AC，
∴=，
∴EG=，
∴==，
∴EP=ET=3，
∴GT=ET-GT=；
分析：（1）此題需先根據已知條件得出AD=CD，∠DCF=∠FAM，∠ADE=∠FDC，再根據AAS證出△ADE≌△CDF，即可得出DE=DF；
（2）根據∠ACB=60°，得出△ABC是等邊三角形，從而得出∠ACB=30°，=Ctan30°=，再根據△ADE∽△CDF，得出=的值，即可得出DE與DF的數量關系；
（3根據已知條件得出EC的值，再設DE=x，則AD=4x，CD=4x，CE=3x，求出x的值，根據==，得出EP∥AB，從而證出△EPT為等邊三角形，求出EG的值，從而得出EP=ET=3，即可求出線段GT的長．
點評：此題考查了等腰直角三角形，全等三角形和相似三角形的判定與性質，銳角三角函數值，平行線分線段成比例等知識點；是一道綜合題，解題時要注意有關知識的綜合應用．