Question

已知A₁、A₂、A₃是拋物線y=x²上的三點，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分別垂直于x軸，垂足為B₁、B₂、B₃，直線A₂B₂交線段A₁A₃于點C．
（1）如圖，若A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為1，2，3，求線段CA₂的長；
（2）如圖，若將拋物線y=x²改為拋物線y=x²﹣x+1，A₁、A₂、A₃三點的橫坐標為連續整數，其他條件不變，求線段CA₂的長；
（3）若將拋物線y=x²改為拋物線y=ax²+bx+c，A₁、A₂、A₃三點的橫坐標為連續整數，其他條件不變，請猜想線段CA₂的長（用a、b、c表示，并直接寫出答案）．

Answer 1

解：（1）方法一：∵A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為1、2、3，
∴A₁B₁=×1²=，A₂B₂=×2²=2，A₃B₃=×3²=
設直線A₁A₃的解析式為y=kx+b．
∴解得
∴直線A₁A₃的解析式為y=2x﹣，
∴CB₂=2×2﹣=
∴CA₂=CB₂﹣A₂B₂=﹣2=．
（2）方法一：設A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為n﹣1、n、n+1，則A₁B₁=（n﹣1）²﹣（n﹣1）+1，A₂B₂=n²﹣n+1，A₃B₃=（n+1）²﹣（n+1）+1
設直線A₁A₃的解析式為y=kx+b．
∴
解得，
∴直線A₁A₃的解析式為y=（n﹣1）x﹣n²+．
∴CB₂=n（n﹣1）﹣n²+=n²﹣n+
∴CA₂=CB₂﹣A₂B₂=n²﹣n+﹣n²+n﹣1=
（3）當a＞0時，CA₂=a；當a＜0時，CA₂=﹣a．