Question

【題目】如圖，在△OAB中，OA=OB，C為AB中點，以O圓心，OC長為半徑作圓，AO與⊙O交于點E，直線OB與⊙O交于點F和D，連接EF、CF，CF與OA交于點G.

（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）求證：OD·EG=OG·EF；
（3）若AB=8，BD=2，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：∵OA=OB，C為AB中點，

∴OC⊥AB，

∴直線AB是⊙O的切線.

（2）

解：證明：∵OA=OB，C為AB中點，

∴∠AOC=∠BOC，

∴ ，

∴∠EFC=∠DFC，

∵OF=OC，

∴∠OFC=∠OCF，

∴∠EFC=∠OCF，

又∵∠EGF=∠OGC，

∴△EGF∽△OGC，

∴ ，

∵OD=OC，

∴ ，

∴ OD·EG=OG ·EF．

（3）

解：∵AB=8，C為AB中點，

∴BC=4，

設⊙O的半徑為r，

∵在Rt△OCB中，OC2+BC2=OB2，

∴r2+42=(r+2)2，

解得：r=3，

∴⊙O 的半徑為3．

【解析】（1）由等腰三角形的“三線合一”易得OC⊥AB，即直線AB是⊙O的切線；（2）要證OD·EG=OG·EF，就要證 ，而OD=OC，就要證 ，則要證△EGF∽△OGC，而∠EGF=∠OGC，只需要證∠EFC=∠OCF即可；（3）在Rt△OCB中，⊙O的半徑為r，由勾股定理構造方程解答.