Question

在半徑為4的⊙O中，點C是以AB為直徑的半圓的中點，OD⊥AC，垂足為D，點E是射線AB上的任意一點，DF//AB，DF與CE相交于點F，設EF=，DF=．
(1) 如圖1，當點E在射線OB上時，求關于的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；

(2) 如圖2，當點F在⊙O上時，求線段DF的長；
   
(3) 如果以點E為圓心、EF為半徑的圓與⊙O相切，求線段DF的長．

Answer 1

（1）（）；（2）2+2；（3）或或

試題分析：（1）連接OC，先根據垂徑定理證得OD=AD，再結合DF//AB可得CF=EF，即可得到DF==．由點C是以AB為直徑的半圓的中點，可得CO⊥AB．由EF=，AO=CO=4，可得到CE=2，OE=，即可得到結果；
（2）當點F在⊙O上時，連接OC、OF，則EF=，即得OC=OB=AB=4，從而可以求得結果；
（3）分當⊙E與⊙O外切于點B時，當⊙E與⊙O內切于點B時，當⊙E與⊙O內切于點A時，三種情況，根據勾股定理列方程求解即可.
（1）連接OC

∵AC是⊙O的弦，OD⊥AC，
∴OD=AD.
∵DF//AB，
∴CF=EF，
∴DF==．
∵點C是以AB為直徑的半圓的中點，
∴CO⊥AB．
∵EF=，AO=CO=4
∴CE=2，OE=.
∴（）．
（2）當點F在⊙O上時，連接OC、OF，EF=，

∴OC=OB=AB=4．
∴DF=2+=2+2．
（3）當⊙E與⊙O外切于點B時，BE=FE．
∵，
∴ ，
∴，）．
∴DF=．
當⊙E與⊙O內切于點B時，BE=FE．
∵，
∴ ，
∴，）．
∴DF=．
當⊙E與⊙O內切于點A時，AE=FE．
∵，
∴ ，
∴，）．
∴DF=．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．