Question

【題目】《函數的圖象與性質》拓展學習展示：

（問題）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線G1：與x軸相交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，則a= ，b= ．

（操作）將圖1中拋物線G1沿BC方向平移BC長度的距離得到拋物線G2，G2在y軸左側的部分與G1在y軸右側的部分組成的新圖象記為G，如圖②．請直接寫出圖象G對應的函數解析式．

（探究）在圖2中，過點C作直線l平行于x軸，與圖象G交于D，E兩點．求圖象G在直線l上方的部分對應的函數y隨x的增大而增大時x的取值范圍．

（應用）P是拋物線G2對稱軸上一個動點，當△PDE是直角三角形時，直接寫出P點的坐標．

Answer 1

【答案】問題：，1；操作：；探究：-4＜x＜-2或0＜x＜1；應用：（-2，+）或（-2，-）.

【解析】

問題：利用待定系數法將A和B的坐標代入，求出a和b的值即可；

操作：根據題意求出平移后的拋物線G2的表達式，結合G1的表達式即可得出結果；

探究：畫出圖像，求出兩部分的拋物線的對稱軸，以及D和E的坐標，結合開口方向，可得x的取值范圍；

應用：由題意判斷出∠DPE=90°，在△DPE中利用勾股定理求出PQ的長，從而得出點P坐標.

解：問題：∵拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，

∴，

解得：，

故答案為：，1；

操作：∵拋物線G1沿BC方向平移BC長度的距離得到拋物線G2，

B（3,0），C（0，），，

∴平移后的拋物線G2的表達式為，

∵G2在y軸左側的部分與G1在y軸右側的部分組成的新圖象記為G，

∴圖像G的解析式為；

探究：由題意可得：當x≥0時，，開口向下，對稱軸為直線x=1，

令y=0，解得：x1=0，x2=2，

∴E（2，），

∴當0＜x＜1時，y隨x增大而增大；

當x＜0時，，開口向下，對稱軸為直線x=-2，

令y=0，解得：x1=-4，x2=0，

∴點D（-4，），

∴當-4＜x＜-2時，y隨x增大而增大；

綜上：圖象G在直線l上方的部分對應的函數y隨x的增大而增大時，

x的取值范圍是當-4＜x＜-2或0＜x＜1；

應用：∵△PDE是直角三角形，P是拋物線G2對稱軸上一個動點，

∴只存在∠DPE=90°，

由題意得：D（-4，），E（2，），

當點P在直線l上方時，如圖，設直線l與G2的對稱軸交于點Q，

可得Q（-2，），

∴DQ=2，QE=4，DE=6，PQ⊥DE，

設PQ=m，在△PDQ和△PEQ中，

PQ2+DQ2=PD2，PQ2+QE2=PE2，

即，，

在△PDE中，PD2+PE2=DE2，

即，

解得：m=或m=（舍），

∴m+=+，

∴點P的坐標為（-2，+），

當點P在直線l下方時，同理PQ=，

此時點P的坐標為（-2，-），

綜上：點P的坐標為（-2，+）或（-2，-）.