Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2-2ax-3a（a≠0）頂點為P，且該拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．我們規定：拋物線與x軸圍成的封閉區域稱為“G區域”（不包含邊界）；橫、縱坐標都是整數的點稱為整點．

（1）求拋物線y=ax2-2ax-3a頂點P的坐標（用含a的代數式表示）；

（2）如果拋物線y=ax2-3ax-3a經過（1，3）．

①求a的值；

②在①的條件下，直接寫出“G區域”內整點的個數．

（3）如果拋物線y=ax2-2ax-3a在“G區域”內有4個整點，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）頂點P的坐標為（1，-4a）．（2）①a=-．②“G區域”有6個整數點．（3）a的取值范圍為-≤a＜-或＜a≤．

【解析】

（1）利用配方法將拋物線的解析式變形為頂點式，由此即可得出頂點P的坐標；
（2）將點（1，3）代入拋物線解析式中，即可求出a值，再分析當x=0、1、2時，在“G區域”內整數點的坐標，由此即可得出結論；
（3）分a＜0及a＞0兩種情況考慮，依照題意畫出圖形，結合圖形找出關于a的不等式組，解之即可得出結論．

解：（1）∵y=ax2-2ax-3a=a（x+1）（x-3）=a（x-1）2-4a，

∴頂點P的坐標為（1，-4a）．

（2）∵拋物線y=a（x+1）（x-3）經過（1，3），

∴3=a（1+1）（1-3），

解得：a=-．

當y=-（x+1）（x-3）=0時，x1=-1，x2=3，

∴點A（-1，0），點B（3，0）．

當x=0時，y=-（x+1）（x-3）=，

∴（0，1）、（0，2）兩個整數點在“G區域”；

當x=1時，y=-（x+1）（x-3）=3，

∴（1，1）、（1，2）兩個整數點在“G區域”；

當x=2時，y=-（x+1）（x-3）=，

∴（2，1）、（2，2）兩個整數點在“G區域”．

綜上所述：此時“G區域”有6個整數點．

（3）當x=0時，y=a（x+1）（x-3）=-3a，

∴拋物線與y軸的交點坐標為（0，-3a）．

當a＜0時，如圖1所示，

此時有，

解得：-≤a＜-；

當a＞0時，如圖2所示，

此時有，

解得：＜a≤．

綜上所述，如果G區域中僅有4個整數點時，則a的取值范圍為-≤a＜-或＜a≤．