Question

【題目】如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標系中，B(2，0)，∠AOB=60°，點A在第一象限，過點A的雙曲線為.在x軸上取一點P，過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經軸對稱變換后的像是OB．

（1）當點O與點A重合時，點P的坐標是 ；

（2）設P(t，0)，當OB與雙曲線有交點時，t的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（1）（4，0）；（2）4≤t≤或≤t≤－4

【解析】

（1）當點O′與點A重合時，即點O與點A重合，進一步解直角三角形AOB，利用軸對稱的現在解答即可；

（2）分別求出O′和B′在雙曲線上時，P的坐標即可．

解：（1）當點O與點A重合時，

∵∠AOB=60°，過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經軸對稱變換后的像是OB．

AP′=OP′，

∴△AOP′是等邊三角形，

∵B（2，0），

∴BO=BP′=2，

∴點P的坐標是（4，0），

（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，

∴∠MP′O=30°，

∴OM=t，OO′=t，

過O′作O′N⊥X軸于N，

∠OO′N=30°，

∴ON=t，NO′=t，

∴O′（t，t），

根據對稱性可知點P在直線O′B′上，

設直線O′B′的解析式是y=kx+b，代入得，

解得：，

∴y=﹣x+t①，

∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，

∴OA=4，AB=2，

∴A（2，2）），代入反比例函數的解析式得：k=4，

∴y=②，

①②聯立得，x2﹣tx+4=0，

即x2﹣tx+4=0③，

b2﹣4ac=t2﹣4×1×4≥0，

解得：t≥4，≤﹣4．

又O′B′=2，根據對稱性得B′點橫坐標是1+t，

當點B′為直線與雙曲線的交點時，

由③得，（x﹣t）2﹣+4=0，

代入，得（1+t﹣t）2﹣+4=0，

解得t=±2，

而當線段O′B′與雙曲線有交點時，

t≤2或t≥﹣2，

綜上所述，t的取值范圍是4≤t≤2或﹣2≤t≤﹣4．