Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點G，E是CD上一點，且BE=DE，延長EB至點P，連結CP，使PC=PE，延長BE與⊙O交于點F，連結BD，FD．

（1）求證：CD=BF；

（2）求證：PC是⊙O的切線；

（3）若tanF=，AG﹣BG=，求ED的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）連接，由于，，，從而得證；

（2）連接，由于，，從而可得，又因為，從而可知，由于，，所以，從而得證；

（3）連接，易證，所以，即，從而可求出的長度，再由勾股定理可知的長度，由于，，所以，，，從而可求出的值.

（1）連接BC，

∵BE=DE，

∴∠BDE=∠DBE，

在△BCD與△DFB中，

∴△BCD≌△DFB（AAS）

∴CD=BF

（2）連接OC，

∵∠COB=2∠CDB，∠CEB=∠CDB+∠DBE=2∠CDB

∴∠COB=∠CEB，

∵PC=PE，

∴∠COB=∠CEB=∠PCE，

∵AB⊥CD，

∴∠COB+∠OCG=90°，

∴∠PCE+∠OCG=∠PCO=90°，

∴OC⊥CP

∵OC是半徑，

∴PC是⊙O的切線，

（3）連接AD，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AB⊥CD，

∴=，

∴∠BDG=∠A=∠F

∵tan∠F=

∴tan∠A==，即AG=GD

同理可得：BG=GD，

∴AG﹣BG=GD﹣GD=，

解得：GD=2，

∴CD=2GD=4，

∴BG=

∴由勾股定理可知：BD=

∵∠BCD=∠EDB，∠BDC=∠EBD，

∴△BCD∽△EDB

∴=

∵BC=BD，

∴ED===