Question

【題目】如圖①，點P是∠AOB的平分線OC上的一點，我們可以分別OA、OB在截取點M、N，使OM=ON，連結PM、PN，就可得到.

（1）請你在圖①中,根據題意，畫出上面敘述的全等三角形和，并加以證明．

（2）請你參考（1）中的作全等三角形的方法，解答下列問題：

（Ⅰ）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角,∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系.

（Ⅱ）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（Ⅰ）中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）（Ⅰ）FE=FD，證明見詳解；（Ⅱ）FE=FD仍成立；理由見詳解.

【解析】

（1）根據題意，畫出圖形，直接根據SAS，即可證明；

（2）（Ⅰ）過點F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分別為G、H，連接BF，由角平分線性質，得到FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，又∠FDH=FEG=75°，由AAS證明△EFG≌△DFH，即可得到FE=FD；

（Ⅱ）與（Ⅰ）同理，得到FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，由∠ABC=60°，得到∠FDH=∠ABC+∠BAF=60°+∠BAF，又∠FEG =∠BAF+60°，則∠FDH=∠FEG=∠BAF+60°，然后利用AAS證明△EFG≌△DFH，即可得到結論成立.

解：（1）如圖，

∵OC是∠AOB的平分線，

∴∠AOC=∠BOC，

∵OM=ON，OP=OP，

∴△POM≌△PON（SAS）；

（2）（Ⅰ）如圖，過點F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分別為G、H，連接BF，

∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，

∴點F為內心，則BF平分∠ABC，

∵FG⊥AB，FH⊥BC，

∴FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，

∵∠B=60°，∠ACB=90°，

∴∠BAC=30°，

∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，

∴∠DAC=15°，∠ACE=45°，

∴∠FEG=∠BAC+ACE=30°+45°=75°，∠FDH=90°-15°=75°，

∴∠FDH=FEG=75°，

∴△EFG≌△DFH（AAS），

∴FE=FD；

（Ⅱ）FE=FD仍成立；理由如下：

如圖，與（Ⅰ）同理，過點F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分別為G、H，連接BF，

由（Ⅰ）可知，FG=FH，∠FGE=∠FHD=90°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BAC+∠BCA=120°，

∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠BCA）=，

∵∠FDH=∠ABC+∠BAF=60°+∠BAF，

∠FEG=∠BAC+∠FCA=∠BAF+∠FAC+∠FCA=∠BAF+60°，

∴∠FDH=∠FEG=∠BAF+60°，

∴△EFG≌△DFH（AAS），

∴FE=FD.