Question

如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，B是⊙O上一點(diǎn)，且PA=PB，連接BO并延長與切線PA相交于點(diǎn)Q．求證：
（1）PB是⊙O的切線；
（2）AQ•PQ=OQ•BQ．

Answer 1

證明：（1）連結(jié)OA、OP，如圖，
∵PA是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
在△PAO和△PBO中，

PA=PB PO=PO OA=OB

，
∴△PAO≌△PBO（SSS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切線；

（2）∵∠OBP=∠OAP=90°，
而∠AQO=∠BQP，
∴Rt△PBQ∽Rt△OAQ，
∴PQ：OQ=BQ：AQ，
∴AQ•PQ=OQ•BQ．