Question

如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF．給出下列五個結論：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=．其中正確結論的序號是（ ）

A．①②③④
B．①②④⑤
C．②③④⑤
D．①③④⑤

Answer 1

【答案】分析：過P作PG⊥AB于點G，根據正方形對角線的性質及題中的已知條件，證明△AGP≌△FPE后即可證明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基礎上，根據正方形的對角線平分對角的性質，在Rt△DPF中，DP²=DF²+PF²=EC²+EC²=2EC²，求得⑤DP=EC．
解答：證明：過P作PG⊥AB于點G，
∵點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得
PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
①∴AP=EF；
∠PFE=∠GAP
∴④∠PFE=∠BAP，
②延長AP到EF上于一點H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF；
③∵點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，∠ADP=45度，
∴當∠PAD=45度或67.5度或90度時，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故③錯誤．
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP²=DF²+PF²=EC²+EC²=2EC²，
∴⑤DP=EC．
∴其中正確結論的序號是①②④⑤．
故選B．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定及性質，垂直的判定，等腰三角形的性質，勾股定理的運用．本題難度較大，綜合性較強，在解答時要認真審題．