Question

【題目】如圖∠BAC=60°，半徑長1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動點，以P為圓心，PA長為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點，連接DE，則線段DE長度的最大值為（　　）

A. 3 B. 6 C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

連接AO并延長，與圓O交于P點，當AF垂直于ED時，線段DE長最大，設圓O與AB相切于點M，連接OM，PD，由對稱性得到AF為角平分線，得到∠FAD為30度，根據切線的性質得到OM垂直于AD，在直角三角形AOM中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AO的長，由AO+OP求出AP的長，即為圓P的半徑，由三角形AED為等邊三角形，得到DP為角平分線，在直角三角形PFD中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出PF的長，再利用勾股定理求出FD的長，由DE=2FD求出DE的長，即為DE的最大值．

連接AO并延長，與ED交于F點，與圓O交于P點，此時線段ED最大，連接OM，PD，可得F為ED的中點．

∵∠BAC=60°，AE=AD，∴△AED為等邊三角形，∴AF為角平分線，即∠FAD=30°．在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°，∴OA=2，∴PD=PA=AO+OP=3．在Rt△PDF中，∠FDP=30°，PD=3，∴PF=，根據勾股定理得：FD==，則DE=2FD=3．

故選D．