Question

【題目】如圖， 為的直徑， 為弦的中點，連接并延長交于點，過點作∥，交的延長線于點，連接， ．

(1)求證： 是⊙的切線；

(2)若時，

①求圖中陰影部分的面積；

②以為原點， 所在的直線為軸，直徑的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，試在線段上求一點，使得直線把陰影部分的面積分成的兩部分．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) ① ②或

【解析】試題分析：(1)、連接OC，根據等腰三角形的三線合一定理得出OD⊥AC，根據平行線的性質得出OD⊥DE，從而得出切線；(2)、首先得出△AOD為等邊三角形，然后根據題意得出△ACD和△OCD的面積相等，從而得出陰影部分的面積等于扇形OCD的面積，然后根據扇形的面積計算法則得出答案；(3)、根據題意得出直線AC的解析式，過點P分別作PM⊥x軸，PN⊥AD，垂足分別為M，N，設設根據面積分成1:2兩部分得出△APD的面積等于陰影部分面積的或列出方程，求出x的值，得出點P的坐標.

試題解析：(1)、連結 ∵ 為的中點 ∴又∵

∴ ∴是⊙O的切線

(2)、①由（1）得∴ ∴ ∴

∴ ∴是等邊三角形 ∴

∴又∵ ∴

∴ ∴

∴ ∴ ∵

∴ ∴

②由已知得： ∴直線的表達式為

過點P分別作軸， 垂足分別為, , 由①得平分

∴ 設

∵直線把陰影部分的面積分成的兩部分

若 即

解得： ，此時

若同理可求得

綜上所述：滿足條件的點P的坐標為和