Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y = ax2+ bx + c經過A、B、C三點，已知點A（-3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．動點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；

（3）在直線x = -2上是否存在點M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M點坐標．若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）點（-，），△PDE的周長最大；（3）點M（-2，）或（-2，-）．

【解析】

（1）將A、B、C三點代入，利用待定系數法求解析式；

（2）根據坐標發現，△AOB是等腰直角三角形，故只需使得PD越大，則△PDE的周長越大.聯立直線AB與拋物線的解析式可得交點P坐標；

（3）作點A關于直線x=-2的對稱點D，利用∠MAC = 2∠MCA可推導得MD=CD，進而求得ME的長度，從而得出M坐標

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A（-3，0），B（0，3），C（1，0），

∴，解得：，

所以，拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；

（2）∵A（-3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，

∵PF⊥x軸，∴∠AEF=90°-45°=45°，

又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD越大，△PDE的周長越大，易得直線AB的解析式為y=x+3，

設與AB平行的直線解析式為y=x+m，

聯立，消掉y得，x2+3x+m-3=0，

當△=9-4（m-3）=0，即m=時，直線與拋物線只有一個交點，PD最長，

此時x=-，y=，∴點（-，），△PDE的周長最大；

（3）設直線x=-2與x軸交于點E，作點A關于直線x=-2的對稱點D，則D（-1，0），連接MA，MD，MC．

∴MA=MD，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ，

∴∠CMD=∠DCM

∴MD=CD=2 ， ∴ME=

∴點M（-2，）或（-2，-）．