Question

如圖，在△ABC中，AB=BC，⊙O是△ABC的內切圓，它與AB，BC，CA分別相切于點D、E、F．
（1）求證：BE=CE；
（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）利用切線長定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，進而得出BD=CF，即可得出答案；
（2）首先連結OD、OE，進而利用切線的性質得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，進而得出四邊形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半徑．

解答：解法一：（1）證明：∵⊙O是△ABC的內切圓，切點為D、E、F
∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，
∵AB=AC，
∴AB-AD=AC-AF，
即BD=CF，
∴BE=CE；
解法二：
（1）證明：連結OB、OC、OE
∵⊙O是△ABC的內切圓，
∴OB，OC分別平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
又∵⊙O是△ABC的內切圓，切點為E，
∴OE⊥BC，
∴BE=CE；

（2）解：連結OD、OE，
∵⊙O是△ABC的內切圓，切點為D、E、F，
∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°，
又∵OD=OF，
∴四邊形ODAF是正方形，
設OD=AD=AF=r，
則BE=BD=CF=CE=2-r，
在△ABC中，∠A=90°，
∴BC=

AB2+AC2

=2

2

，
又∵BC=BE+CE，
∴（2-r）+（2-r）=2

2

，
得：r=2-

2

，
∴⊙O的半徑是2-

2

．

點評：此題主要考查了正方形的判定以及切線的性質定理和勾股定理等知識，根據已知得出四邊形ODAF是正方形是解題關鍵．