Question

【題目】如圖，二次函數y=a（x2﹣4mx﹣12m2）（其中a、m是常數，且a＞0，m＞0）的圖象與x軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸交于C（0，﹣6），點D在二次函數的圖象上，CD∥AB，連接AD，過點A作射線AE交二次函數的圖象于點E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的代數式表示a；

（2）求證：為定值；

（3）設該二次函數圖象的頂點為F，連接FC并延長交x軸的負半軸于點G，判斷以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形的面積是否能為24（+1）m2﹣48m﹣72+24，能則求出m；不能則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=；（2）見解析；（3）m=3．

【解析】

（1）把點C坐標代入y=a（x2﹣4mx﹣12m2）中，即可解決問題．
（2）如圖1，過點D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N．首先求出A、B兩點坐標，由△ADM∽△AEN．推出設E坐標為可得推出x=8m，可得E（8m，10），由AM=AO+OM=2m+4m=6m，AN=AO+ON=2m+8m=10m，由此即可解決問題．
（3）如圖2，記二次函數圖象頂點為F，則F的坐標為（m，-4），過點F作FH⊥x軸于點H．連接FC并延長，與x軸負半軸交于一點，此點即為所求的點G．
由推出即得到OG=6m，可得

AD：GF：AE=3：4：5，由此即可解決問題．

（1）將C（0，﹣6）代入二次函數y=a（x2﹣4mx﹣12m2），

則﹣6=a（0﹣0﹣12m2），

解得a=；

（2）證明：如圖1，過點D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N，

由a（x2﹣4mx﹣12m2）=0，

解得x1=﹣2m，x2=6m，

則點A（﹣2m，0），B（6m，0），

∵CD∥AB，

∴點D的坐標為（4m，﹣6），

∵AB平分∠DAE，

∴∠DAM=∠EAN，

∴∠DMA=∠ENA=90°，

∴△ADM∽△AEN，

∴

設點E坐標為

∴x=8m，

∴E（8m，10），

∵AM=AO+OM=2m+4m=6m，AN=AO+ON=2m+8m=10m，

∴ 即為定值．

（3）如圖2，記二次函數圖象的頂點為F，則F的坐標為（2m，﹣8），過點F作FH⊥x軸于點H，

∵

∴即

∴OG=6m，

∵

∴

∵

∴AD：GF：AE=3：4：5，

∴以線段GF，AD，AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，

∴以線段GF，AD，AE的長度為三邊長的三角形的面積為

∴

∴m=3或m=﹣1，

∵m＞0，

∴m=3．