Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分線交于E，D是AE延長線上一點，且∠BDC=120°．下列結論：①∠BEC=120°；②DB=DC；③DB=DE;④∠BDE=∠BCA．其中正確結論的個數為（ 　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：根據三角形內角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根據角平分線的定義求出∠EBC+∠ECB，然后求出∠BEC=120°，判斷①正確；過點D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延長線于G，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DF=DG，再求出∠BDF=∠CDG，然后利用“角邊角”證明△BDF和△CDG全等，根據全等三角形對應邊相等可得BD=CD，得出②正確；再根據等邊對等角求出∠DBC=30°，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義求出∠DBE=∠DEB，根據等角對等邊可得BD=DE，判斷③正確；再求出B，C，E三點在以D為圓心，以BD為半徑的圓上，根據同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可得∠BDE=2∠BCE=∠BCA，判斷④正確．

詳解：∵∠BAC=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，

∵BE、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×120°=60°，

∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-60°=120°，故①正確；

如圖，過點D作DF⊥AB于F，DG⊥AC的延長線于G，

∵BE、CE分別為∠ABC、∠ACB的平分線， ∴AD為∠BAC的平分線，

∴DF=DG， ∴∠FDG=360°-90°×2-60°=120°， 又∵∠BDC=120°，

∴∠BDF+∠CDF=120°，∠CDG+∠CDF=120°， ∴∠BDF=∠CDG，

∴△BDF≌△CDG（ASA）， ∴DB=CD，故②正確；

∴∠DBC=（180°-120°）=30°， ∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=30°+∠CBE，

∵BE平分∠ABC，AE平分∠BAC， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠BAC=30°，

根據三角形的外角性質，∠DEB=∠ABE+∠BAE=∠ABE+30°，∴∠DBE=∠DEB，

∴DB=DE，故③正確；

∵DB=DE=DC， ∴B，C，E三點在以D為圓心，以BD為半徑的圓上，

∴∠BDE=2∠BCE=∠BCA，故④正確；故選D．