Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CE⊥AB于E，BD交CE于點F，CF＝BF．

（1）求證：C是的中點；

（2）若CD＝4，AC＝8，則⊙O的半徑為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2.

【解析】

（1）由AB是直徑知∠CAB+∠CBE=90°，由CE⊥AB知∠ECB+∠CBE=90°，據此得∠CAB=∠ECB，由CF=BF知∠FCB=∠FBC，從而得∠CDB=∠FBC，即可得證；
（2）利用（1）中所得結論得出BC=CD=4，再根據勾股定理可求得AB的長，即可得出答案．

解：（1）∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠CBE＝90°，

∵CE⊥AB，

∴∠ECB+∠CBE＝90°，

∴∠CAB＝∠ECB，

∵∠CAB＝∠CDB，

∴∠CDB＝∠ECB，

又∵CF＝BF，

∴∠FCB＝∠FBC，

∴∠CDB＝∠FBC，

∴圓弧CD ＝圓弧BC，

∴C是圓弧BD的中點；

（2）由（1）知C是圓弧BD的中點，

∴BC＝CD＝4，

∵∠ACB＝90°，

∴AB＝ ＝ ＝4 ，

∴⊙O的半徑為2，

故答案為：（1）見解析；（2）2．