Question

【題目】如圖，△ABC 中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，與BC交于點D，過D作AC的垂線，垂足為E．證明：

（1）BD=DC；
（2）DE是⊙O切線．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如右圖所示，

連接AD，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

又∵AB=AC，

∴BD=CD

（2）連接OD，

∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，

∴∠BAC=∠BOD，

∴OD∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴∠AED=90°，

∴∠ODB=∠AED=90°，

∴DE是⊙O的切線．

【解析】（1）連接AD，由于AB是直徑，那么∠ADB=90°，而AB=AC，根據等腰三角形三線合一定理可知BD=CD；（2）連接OD，由于∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，那么∠BAC=∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易證∠ODB=90°，從而可證DE是⊙O切線．
【考點精析】本題主要考查了圓周角定理和切線的判定定理的相關知識點，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．