Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上的一點，以BD為直徑作⊙O交AC于點E，連結DE并延長，與BC的延長線交于點F．且BD=BF．

（1）求證：AC與⊙O相切．
（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面積．

Answer 1

（1）連接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根據切線的判定推出即可。
（2）16π

分析：（1）連接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根據切線的判定推出即可。
（2）證△AEO∽△ACB，得出關于半徑r的方程，求出r即可。
解：（1）證明：連接OE，

∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED。
∵BD=BF，∴∠ODE=∠F。
∴∠OED=∠F。∴OE∥BF。
∴∠AEO=∠ACB=90°。
∵OE是⊙O的半徑，∴AC與⊙O相切。
（2）由（1）知∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，
∴△AOE∽△ABC。
∴。
設⊙O的半徑為r，則，解得：r=4。
∴⊙O的面積π×4²=16π。