Question

如下圖，AB是半圓O的直徑，⊙O1與半圓內切于點M，并與AB相切于點C，MB交⊙O1于另一點N，過N作AB的垂線，垂足于E，交半圓于點D． 求證： (1) BN·BM=BE·BA (2) BC=BD (3) DE是⊙O1的切線

Answer 1

答案：
解析：

(1)	連接AM 　　∵AB是半圓O的直徑，∴∠BMA=90° 　　又∵DE⊥AB，∠ABM=∠NBE， 　　∴Rt△ABM∽Rt△NBE 　　∴，即BN·BM=BE·BA
(2)	連接AD，BD（如下圖） 　　∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90° 　　又因∵DE⊥AB，∴BD2=BE·BA 　　∵BC是⊙O1的切線，∴BC2=BN·BM 　　由（1）知BN·BM=BE·BA，∴BC2=BD2，即BC=BD
(3)	連接O1N和OM（如下圖），則OM過點O1， 　　∵OB=OM，O1N=O1M，∴∠MNO1=∠NMO1=∠MBO 　　∴O1N∥OB 　　而DE⊥OB，∴OE⊥O1N 　　∵O1N是 ⊙O1的半徑，∴DE是⊙O1的切線