Question

【題目】如圖，已知拋物線＝與軸交于、兩點，與軸交于點，且＝．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點是線段上的一個動點（不與、重合），分別以、為一邊，在直線的同側作等邊三角形和，求的最大面積，并寫出此時點的坐標；

（3）如圖，若拋物線的對稱軸與軸交于點，是拋物線上位于對稱軸右側的一個動點，直線與軸交于點．是否存在點，使與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），(1，0)；（3）存在，、、或

【解析】

（1）令x=0得，y=4，求出點C（0，4），根據OB=OC=4，得到點B（4，0）代入拋物線表達式求出a的值，即可解答；

（2）過點M作MG⊥x軸于G，過點N作NH⊥x軸于H，設P（x，0），△PMN的面積為S，分別表示出，，，，根據＝，利用二次函數的性質當x=1時，S有最大值是，此時點的坐標是；

（3）存在點F，使得△DOE與△AOC相似．有兩種可能情況：①△DOE∽△AOC；②△DOE∽△COA，先求出點E的坐標，再求出直線DE的解析式，利用方程組求出點F的坐標，即可解答．

解：（1）令＝得，＝，

∴，

∴＝＝，

∴，

代入拋物線表達式得：

＝，解得，

∴拋物線的函數表達式為，

（2）如圖，過點作軸于，過點作軸于，

由拋物線得：，

設，的面積為，

則，，，，

∴＝，

S，

∵，

∴當＝時，有最大值是，

∴的最大面積是，此時點的坐標是，

（3）存在點，使得與相似．有兩種可能情況：①；②，

由拋物線得：，對稱軸為直線＝，

∴＝，＝，＝，

①若，則，

∴，

解得＝，

∴點的坐標是或，

若點的坐標是，

則直線為：＝，

解方程組，

得：，（不合題意，舍去），

此時滿足條件的點的坐標為，

若點的坐標是，

同理可求得滿足條件的點的坐標為，

②若，

同理也可求得滿足條件的點的坐標為，

滿足條件的點的坐標為，

綜上所述，存在滿足條件的點，點的坐標為：

、、或．