Question

如圖，在直角坐標系中有一直角三角形AOB，O為坐標原點，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉90°，得到△DOC，拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B、C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是第二象限內拋物線上的動點，其橫坐標為t，
①設拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD于F，求出當△CEF與△COD相似時，點P的坐標；
②是否存在一點P，使△PCD得面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出A、B、C的坐標，再運用待定系數法就可以直接求出二次函數的解析式；
（2）①由（1）的解析式可以求出拋物線的對稱軸，分類討論當∠CEF=90°時，當∠CFE=90°時，根據相似三角形的性質就可以求出P點的坐標；
②先運用待定系數法求出直線CD的解析式，設PM與CD的交點為N，根據CD的解析式表示出點N的坐標，再根據S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN就可以表示出三角形PCD的面積，運用頂點式就可以求出結論．
解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO==3，
∴OB=3OA=3．
∵△DOC是由△AOB繞點O逆時針旋轉90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC=OB=3，OD=OA=1，
∴A、B、C的坐標分別為（1，0），（0，3）（-3，0）．
代入解析式為
，
解得：．
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；

（2）①∵拋物線的解析式為y=-x²-2x+3，
∴對稱軸l=-=-1，
∴E點的坐標為（-1，0）．
如圖，當∠CEF=90°時，△CEF∽△COD．此時點P在對稱軸上，即點P為拋物線的頂點，P（-1，4）；
當∠CFE=90°時，△CFE∽△COD，過點P作PM⊥x軸于點M，則△EFC∽△EMP．
∴，
∴MP=3EM．
∵P的橫坐標為t，
∴P（t，-t²-2t+3）．
∵P在二象限，
∴PM=-t²-2t+3，EM=-1-t，
∴-t²-2t+3=3（-1-t），
解得：t₁=-2，t₂=-3（與C重合，舍去），
∴t=-2時，y=-（-2）²-2×（-2）+3=3．
∴P（-2，3）．
∴當△CEF與△COD相似時，P點的坐標為：（-1，4）或（-2，3）；
②設直線CD的解析式為y=kx+b，由題意，得
，
解得：，
∴直線CD的解析式為：y=x+1．
設PM與CD的交點為N，則點N的坐標為（t，t+1），
∴NM=t+1．
∴PN=PM-NM=t²-2t+3-（t+1）=-t²-+2．
∵S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN，
∴S_△PCD=PN•CM+PN•OM
=PN（CM+OM）
=PN•OC
=×3（-t²-+2）
=-（t+）²+，
∴當t=-時，S_△PCD的最大值為．
點評：本題考查了相似三角形的判定及性質的運用，待定系數法求函數的解析式的運用，三角形的面積公式的運用，二次函數的頂點式的運用，解答本題時，先求出二次函數的解析式是關鍵，用函數關系式表示出△PCD的面積由頂點式求最大值是難點．