Question

【題目】在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=8cm,如圖①，點E,H從點A開始向B,D運動，同時點F,G從點C向B,D運動，運動速度都為1cm/秒，運動時間為t秒（0≤t<8）.

（1）當運動時間t=4時，求證：四邊形EFGH為矩形；

（2）當t等于多少秒時，四邊形EFGH面積是菱形ABCD面積的；

（3）如圖②，連接HF,BG，當t等于多少秒時，HF⊥BG.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) t=;(3)t=4.

【解析】

（1）根據t=4時，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，可證四邊形EFGH為矩形；

（2）先證明四邊形EFGH為矩形，然后根據∠ADB=60°求出HG=，由四邊形EFGH面積是菱形ABCD面積的列方程求解即可；

（3）延長GF,過點B作BM⊥FG交點M，由（2）可知，FG=t， HG=，證明∽，根據相似三角形的對應邊成比例列出比例式，在含30°的直角三角形BMF中求出BM、FM，代入比例式即可求出t值.

解：（1）連接AC、BD，如圖:

當t=4時，AE=AH=CF=CG=4

在菱形ABCD中,AB=BC=CD=AD=8，AC⊥BD

E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點

EH∥BD,FG∥BD,EF∥AC,HG∥AC

EH∥FG,EF∥HG EH∥BD,FG∥BD

四邊形EFGH為平行四邊形

EH∥BD,EF∥AC，AC⊥BD

EH⊥RF

四邊形EFGH為矩形；

（2）由(1)中圖可知AE=AH=CF=CG=t，則BE=DH=BF=DG=8-t

在菱形ABCD中,AB=BC=CD=AD=8，AC⊥BD，∠A=60°，

EH=t，∠ADB=60°，

，∠A=∠A ，

EH∥BD

同理可得：FG∥BD，EF∥AC,HG∥AC，

EH∥FG,EF∥HG，

EH∥BD,FG∥BD

四邊形EFGH為平行四邊形

EH∥BD,EF∥AC，AC⊥BD，

EH⊥EF,

四邊形EFGH為矩形，

∠ADB=60°,BD⊥HG，

HG=

四邊形EFGH面積是菱形ABCD面積的，

t·=··8·

解得 t=，

當t=時，四邊形EFGH面積是菱形ABCD面積的；

（3）延長GF,過點B作BM⊥FG交點M，

由（2）可知，FG=t，BF=8-t，HG=，四邊形EFGH為矩形,HF⊥BG

∠FHG+∠HFG=90°,∠FGB+∠HFG=90° ∠FHG=∠FGB

又∠FGH=∠FMB，

∽

，

化簡得

解得t=4或t=24（舍去）

當t=4時，HF⊥BG.