Question

10．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點，點E是邊AC上的一動點，點F是邊BC上的一動點．
（1）若AE=CF，試證明DE=DF；
（2）在點E、點F的運動過程中，若DE⊥DF，試判斷DE與DF是否一定相等？并加以說明．
（3）在（2）的條件下，若AC=2，四邊形ECFD的面積是一個定值嗎？若不是，請說明理由，若是，請直接寫出它的面積．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件，運用SAS判定△DAE≌△DCF，即可得出對應邊DE=DF；
（2）根據已知條件，運用ASA判定△DAE≌△DCF，即可得出DE與DF一定相等；
（3）根據△DAE≌△DCF，可得△ADE的面積=△DCF的面積，進而得出四邊形ECFD的面積=△DCF的面積+△CDE的面積=△ADE的面積+△CDE的面積=△ACD的面積，再根據△ACD的面積=$\frac{1}{2}$×△ABC的面積=1，即可得出四邊形 ECFD的面積是一定值1．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點，
∴∠A=∠DCF=45°，CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴DE=DF；

（2）DE與DF一定相等．
證明：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點，
∴∠A=∠DCF=45°，CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴DE=DF；

（3）四邊形 ECFD的面積是一定值1．
由（2）可得，△DAE≌△DCF，
∴△ADE的面積=△DCF的面積，
∴四邊形ECFD的面積=△DCF的面積+△CDE的面積=△ADE的面積+△CDE的面積=△ACD的面積，
又∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
又∵D是AB的中點，
∴△ACD的面積=$\frac{1}{2}$×△ABC的面積=1，
即四邊形ECFD的面積=1．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等；兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．