Question

探究問題：
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，點G，B，F在同一條直線上．
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠

 

．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌

 

．
∴

 

=EF，故DE+BF=EF．
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=

1

2

∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數量關系，并證明你的猜想．
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F分別為DC，BC上的點，滿足∠EAF=

1

2

∠DAB，試猜想當∠B與∠D滿足什么關系時，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．

Answer 1

分析：（1）利用角之間的等量代換得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；
（2）作出∠4=∠1，利用已知得出∠GAF=∠FAE，再證明△AGF≌△AEF，即可得出答案；
（3）根據角之間關系，只要滿足∠B+∠D=180°時，就可以得出三角形全等，即可得出答案．

解答：解：（1）根據等量代換得出∠GAF=∠FAE，
利用SAS得出△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
故答案為：FAE；△EAF；GF；

（2）證明：延長CF，作∠4=∠1，
∵將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=

1

2

∠DAB，
∴∠1+∠2=∠3+∠5，
∠2+∠3=∠1+∠5，
∵∠4=∠1，
∴∠2+∠3=∠4+∠5，
∴∠GAF=∠FAE，
∵在△AGB和△AED中，

∠4=∠1 AB=AD ∠ABG=∠ADE

，
∴△AGB≌△AED（ASA），
∴AG=AE，BG=DE，
∵在△AGF和△AEF中，

AG=AE ∠GAF=∠EAF AF=AF

，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF，
∴DE+BF=EF；

（3）當∠B與∠D滿足∠B+∠D=180°時，可使得DE+BF=EF．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及折疊的性質和旋轉變換性質等知識，根據題意作出與已知相等的角，利用三角形全等是解決問題的關鍵．