Question

已知：如圖Rt△ABD和Rt△BCD如圖放置，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC，若AC平分∠DAB，則線段AB、AD、AC有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并證明．

Answer 1

分析：AB+AD=

2

AC．首先過C點分別作AB和AD延長線的垂線段，垂足分別是E、F，再證明△CFB≌△CED可得CB=CD．延長AB至G，使BG=AD，連接CG．再證明△GBC≌△ADC可得AC=CG，
∠G=∠DAC=∠CAB=45°，則∠ACG=90°故AG=

2

AC，進而得到AB+AD=

2

AC．

解答：AB+AD=

2

AC．
證明如下：過C點分別作AB和AD延長線的垂線段，垂足分別是E、F．
∵AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AF，
∴CE=CF．
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°，
∵∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠ABC=∠EDC．
在△CED和△CFB中

∠CED=∠CFB ∠CDE=∠CBF CE=CF

，
∴△CFB≌△CED（AAS）．
∴CB=CD．
延長AB至G，使BG=AD，連接CG．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，
∴∠CBG=∠ADC．
在△GBC和△ADC中

CB=CD ∠CBG=∠ADC AD=BG

，
∴△GBC≌△ADC（SAS）．
∴AC=CG，
∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°．
∴∠ACG=90°．
∴AG=

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AC．
∴AB+AD=

2

AC．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，關鍵是正確畫出輔助線，證明出∠CAB=45°，∠ACG=90°，再用三角函數得到AG=

2

AC．