Question

（2012•朝陽區一模）閱讀下面材料：
問題：如圖①，在△ABC中，D是BC邊上的一點，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的長．

小明同學的解題思路是：利用軸對稱，把△ADC進行翻折，再經過推理、計算使問題得到解決．
（1）請你回答：圖中BD的長為

2

2

；
（2）參考小明的思路，探究并解答問題：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的一點，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的長．

Answer 1

分析：（1）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，連接DE，可得△ADC≌△AEC，又∠DCA=45°，即可得△CDE是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出BD的長；
（2）同理把△ADC沿AC翻折，得△AEC，連接DE，可得△ADC≌△AEC，又由∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，易證得△CDE為等邊三角形，則DE的長，然后在AE上截取AF=AB，連接DF，可證得△ABD≌△AFD，即可得BD=DF，然后由角的關系，求得∠DFE=∠DEF=75°，根據等邊對等角的性質，即可得BD=DE，即可求得BD的長；再作BG⊥AD于點G，可得△BDG是等腰直角三角形，即可求得BG的長，又由∠BAD=30°，即可求得AB的長．

解答：解：（1）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，連接DE，
∴△ADC≌△AEC，
∴∠DCA=∠ECA，DC=EC，∠DAC=∠CAE，
∵∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，∠DAE=∠DAC+∠CAE=2∠DAC，
∴∠ECD=∠ECA+∠DCA=90°，∠BAD=∠DAE，
∴DE=

DC2+EC2

=2

2

，
∵∠ADB=∠DAC+∠ACD=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ADE=180°-∠ADB-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠ADB=∠ADE，
在△BAD和△EAD中，
∵

∠BAD=∠EAD AD=AD ∠BDA=∠EDA

，
∴△BAD≌△EAD（ASA），
∴BD=DE=2

2

；…（2分）

（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，連接DE，
∴△ADC≌△AEC，
∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，DC=EC，
∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，
∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°，
∴△CDE為等邊三角形，…（3分）
∴DC=DE，
在AE上截取AF=AB，連接DF，
∵AD是公共邊，
∴△ABD≌△AFD，
∴BD=DF，
在△ABD中，∠ADB=∠DAC+∠DCA=45°，
∴∠ADE=∠AED=75°，∠ABD=105°，
∴∠AFD=105°，
∴∠DFE=75°，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DF=DE，
∴BD=DC=2，…（4分）
作BG⊥AD于點G，
∴在Rt△BDG中，BG=BD•sin∠ADB=2×

2

2

=

2

，…（5分）
∴在Rt△ABG中，AB=2BG=2

2

．…（6分）
故答案為：2

2

．

點評：此題考查了折疊的性質、等腰直角三角形的性質、等腰三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是根據題意作出輔助線；注意數形結合思想的應用．